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第32回全国高等学校クイズ選手権 決勝戦の物理問題解答
クイズ1クイズ2

第32回全国高等学校クイズ選手権 決勝戦の物理問題解答


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先日 (2012年8月31日) に放送された 『第32回全国高等学校クイズ選手権』 の決勝戦 『開成高校vs船橋高校』 で出された問題のうち、物理問題2問について私が解いた答えを載せておきます。


※あくまで私が自分のやり方で解いたものなので、解法に多少ミスがあるかもしれませんがご容赦ください。


なお、問題分は分かりやすいように少し文章を変えてあります。

(問題の内容自体はまったく同じです)










1. 琵琶湖に浮かぶボール

クイズ1

問題


琵琶湖 (以下、「湖」 と表記) に直径100mのボールを浮かべた。

するとボールは丁度湖の水面から 50m の深さまで沈んだ。

この時、ボールの重さは何tであるか?

ただし、湖の水の重さは1㎥あたり1tとし、有効数字3ケタで答えよ。

(番組中では言ってませんでしたけど、おそらくボールや湖の水の密度は一定とする ←これが成立してないと解けない)








解答


この問題の解法のキモとなるのは 水に浮かぶ物体の重さは、その物体が押しのけている水の重さの合計に等しい ということ。

参照→ アルキメデスの原理 (新しいウィンドウで開きます)



少々ややこしいですが、

ボールが押しのけている水の重さ = 浮力 = ボールの重さ 

・・・という図式が成立しています。


つまり、この問題は 『ボールが押しのけている水の重さを求める』 と言いかえることが出来ます。





早速計算してみましょう。


ボールの半径は50mなので、ボール全体の体積は 『球の体積を求める公式』 より、


(4 × π × 半径の3乗) ÷ 3



(4 × π × 50 × 50 × 50) ÷ 3


となるので、これを解いて、


ボールの体積 = 523599 [㎥]


となります。


条件より、ボールは水面に対して丁度50m (直径の丁度半分) の深さまで沈んでいるので、ボールが押しのけている水の体積はボールの体積の半分となり、


523599 ÷ 2 = 261800 [㎥]


となります。


これがボールが浮かぶために押しのけられている水の体積であり、前述の通りこの押しのけられた水の重さの合計がボールに働く全浮力と等しくなります。


条件より、湖の水の体積と重さの関係 (密度) は 1[㎥] あたり1tなので、押しのけられた水の重さ (=浮力) は、


261800 [t]


となり、ボールの重さもこれと等しくなります。


これを有効数字3ケタで表すと、


2.62×10^5 [t]


となり、これが答えになります。




船橋高校の学生諸君が出した解答はまさにドンピシャでしたね。













こうして解いてみると、これは計算力の問題というよりも 『ボールの重さはボールに働く浮力に等しい』 『浮力はボールが押しのけている水の重さの合計に等しい』 『その水の重さは 体積×密度 で求められる (密度は条件で与えられている)』 という解答までの道筋を頭の中にイメージ出来るか? という発想力の問題だと言えます。


・・・もっと極端な事を言うと、前述の Archimedes' principle を知ってるか知ってないか? というだけの問題です。


















2.静止軌道 (衛星) までエレベーターで移動するのにかかる時間

クイズ2

問題


地球上のある点から宇宙エレベーターで静止軌道まで移動する。

この時に移動に掛かる時間を計算せよ。


以下、条件。

静止軌道までの高さは 36000 [km] とする。

エレベーターは初速ゼロの状態から出発し、0.1Gで100秒間加速し最高速度に達する。

その後は等速移動をしながら減速開始位置まで向かい、そこから0.01Gで減速を行い、最終的に速度ゼロで静止軌道上に停止する。

なお、 1G = 9.8 [m/s2] とする。












解答


上の図のように、エレベーターの移動ルートをABCの3段階に分けて考えます。


Aは加速域、Bは等速移動域、Cは減速域とします。


それぞれの区間の移動時間を合計すれば、最終的にエレベーターが移動するのにかかる時間を求めることが出来ます。




(1) 区間A (加速域)

条件より、加速度は0.1G、加速時間は100秒間と与えられているので、到達速度は、


9.8 × 0.1× 100 = 98 [m/s]


となります。


この式は、高校物理の基本公式の一つである、


速度 = 初速 + 加速度 × 時間


の公式を使っています。


V = vo + at


のアレです。




このA区間の間に進む距離は、求める距離をSとすると、


S = vot + 1/2 × at^2


より、


S = 1/2 × 0.98 × 100 × 100 = 4900 [m] = 4.9 [km]


となります。









(2) 区間C (減速域)

区間Bについては区間Aと区間Cの距離が分からないと計算出来ないので、後回しにして区間Cについて計算します。


区間Cでは区間Aで求めたエレベーターの最高速度である 98 [m/s] から速度ゼロまで減速が行われます。


この時、条件より減速時の加速度はマイナス0.01Gとなっています。


このままでは計算し辛いですが、見方を変えて 初速ゼロから加速度0.01Gで速度 98 [m/s] まで加速するのと同じ と考えれば案外簡単に計算出来ます。


つまり、図でいうところの 『左端からスタートすると考える』 ということです。




区間Cを移動するのに必要な時間をtとして、A区間の時と同じように公式に当てはめると、


98 = 9.8 × 0.01 × t


これを解いて、


t = 1000 [秒]


この間に移動する距離 (=減速に使われる距離) についてもA区間の時と同様に公式に当てはめて、


S = 1/2 × 0.098 × 1000 × 1000 = 49000 [m] = 49 [km]


となります。











・・・ちなみに、上記のように左端から考えなくても加速度をマイナスの値 (減速なので) として通常通りC区間の右端から順に公式に当てはめていっても問題無く解けます。


その場合は、


初速が プラス 98 [m/s] (左方向)

加速度が マイナス 0.098 [m/s2] (右方向)

最終到達速度が ゼロ


として式 (速度 = 初速 + 加速度 × 時間) に代入して、


0 = 98 + (-0.098) × t


ここから直ちに t = 1000 [秒] が求まります。




自分のやり易い解法を見つけるのも物理計算の楽しさの一つですね。













(3) 区間B (等速移動域)

(1),(2) の計算結果より、


A区間の距離 = 4.9 [km]

C区間の距離 = 49 [km]


静止軌道までの全移動距離は、条件より 36000 [km] なのでB区間の距離は、


36000 - (4.9 + 49) = 35946.1 [km] = 35946100 [m]


B区間の移動速度は (1) より 98 [m/s] (一定) なので、B区間の移動にかかる時間は、


35946100 ÷ 98 = 366796.9388 [秒]


となります。









さあこれで A,B,C区間 の移動時間が出揃いました。


A区間 → 100 [秒]

B区間 → 366796.9388 [秒]

C区間 → 1000 [秒]


ゆえに、ABC全区間の移動にかかる時間は、


100 + 1000 + 366796.9388 = 367896.9388 [秒]


単位を [時間] に直すと、


367896.9388 ÷ (60 × 60) = 102.1935941 [時間]

(ここで、0.1 [時間] = 10 [分] でないことに注意)


小数点以下の 0.1935941 [時間] を [分] に直すと、


0.1935941 × 60 = 11.615646 [分]


さらに小数点以下の 0.615646 [分] を [秒] に直すと、


0.615646 × 60 = 36.9388 [秒]


ゆえに答えは、


102時間11分 と 36.9388秒


となります。











・・・ややこしいですね。


ここまでガッチガッチに物理学的計算をしなくても、367896.9388 [秒] を大体 367897 [秒] だと考えて 3600 で割れば (1時間は3600秒)、102 [時間] と余り 697 [秒] と出てきます。


697秒が → 11分と37秒 ・・・となるのは簡単に分かりますね。






開成高校の諸君が出した、102時間11分37秒 という解答はこれまたドンピシャです。









場合分けしてそれぞれ別の計算式に代入しなければならないので少々ややこしいですが、計算に必要な公式や知識はどれも高校物理の初等レベル (高校1~2年生レベルくらい。関東の進学校であれば中学生レベル) であり、高校生クイズの出題問題としてはまあ適当なレベルだったのかな・・・と。




どちらかというと、視聴者に対する問題の出し方・・・というか見せ方? が多少不親切だったような気が。


まあ解くのはあくまでも解答者の高校生諸君なので、あれで良かったのかもしれませんけど。


『視聴者参加型のクイズ番組』 っていうのはもはや過去のスタイルなのでしょうか。























最後に



この物理問題に限ったことではないのですが、今回の 『高校生クイズ選手権』 は全体的に勉強問題が多く、クイズというよりは学力試験・・・って感じでしたね。


学力試験であれば当然ながら偏差値の高い高校が有利になるのは当たり前なわけで・・・


時事問題やひらめき問題などの 『いかにもクイズ!』 って感じの問題を期待していた視聴者はガッカリする結果に。


これは出場していた生徒諸君にとっても面白くない結果になってしまったのではないでしょうか。








まあ、あまりにもマニアックな問題を出しまくってもらってもそれはそれでアレなので (昔の高校生クイズ選手権で顕著だった)・・・そこら辺の線引きは難しいとは思うんですけどね。










あと、『日本の地理問題』 といった選定が非常に難しい問題・・・というのもあります。



たとえば、『日本で10番目に大きな湖の名前は?』 という問題があったとします。

(答えは 静岡県の 『浜名湖』)


で、解答者のなかに静岡県の高校の生徒がいたとします。


すると、「ひいきだ!」 とか 「ずるい!」 とか言いだす人が絶対に出てくるでしょう。


そういう点で、時事問題とか日本地理問題とかは出しづらいという側面があるんですよね。







そうした事情を考慮すれば、今回の決勝戦の問題が全部勉強問題一色に染まってしまった・・・というのもある程度は仕方ないのかもしれません。


しかしながらそれがあまりにも 『行き過ぎて』 しまって、見ている側も解答している側も 「・・・あれれ?」 な結果になってしまった感が。


そういう意味で、今回の高校生クイズ選手権は多少課題の残る内容だったと言えるでしょう。









もうかれこれ32回目を迎えた高校生クイズ選手権。


過去問と被らないように問題を考えるのは非常に難しい作業だと思います。

(前述のように 『ひいき』 が起こらないように調整する必要もありますし)


それでいて番組として面白いようにする・・・というのは最早至難の技でしょう。


スタッフのみなさんは大変だとは思いますが、32回の歴史を大切にし、より良い番組作りに努めて頂きたいものですね。











さて、今日はこの辺で。


最後までお読み頂き、ありがとうございました (`・ω・´)

2012.09.02(Sun) | 未分類 | cm(0) | tb(0) |

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